1 Trabalho de Econometria - Questão 1

1.1 Introdução

Neste relatório apresentaremos a resolução da Questão 1 do Trabalho de Econometria. Utilizamos os dados gerados a partir do script disponibilizado pelo professor, sendo baseados em uma simulação da equação de Mincer com erros homoscedásticos e heterocedásticos.

1.2 Estrutura da base de dados

A base de dados mostra uma simulação de um mercado de trabalho pela equação de Mincer. A equação de Mincer relaciona o salário com a escolaridade e experiência profissional. Os dados foram gerados incluindo heterogeneidade na escolaridade e com variáveis relevantes como sexo, raça e distribuição regional.

Além das variáveis explicativas (education, experience, male, white e dummies regionais), existem duas versões do salário: uma sob homoscedasticidade e outra sob heterocedasticidade. Dessa forma, investigaremos relaçoes entre variáveis através de regressões, testes para testar heterocedasticidade, estimaremos pelo método Feasible Generalized Least Squares (FGLS) e iremos comparar os resultados entre métodos.

dplyr::glimpse(data)

## Rows: 2,000
## Columns: 13
## $ education       <dbl> 12, 9, 11, 12, 6, 4, 14, 12, 6, 9, 10, 9, 4, 11, 17, 8…
## $ male            <int> 1, 0, 1, 1, 1, 0, 0, 1, 0, 1, 1, 1, 1, 0, 0, 0, 1, 0, …
## $ white           <int> 1, 0, 1, 0, 1, 0, 0, 1, 1, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, …
## $ experience      <dbl> 14, 8, 12, 17, 18, 4, 9, 9, 16, 19, 15, 23, 2, 4, 33, …
## $ region          <chr> " Southeast ", " Southeast ", " Northeast ", " Southea…
## $ north           <dbl> 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, …
## $ northeast       <dbl> 0, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 1, …
## $ south           <dbl> 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, …
## $ centerwest      <dbl> 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, …
## $ log_wage_homo   <dbl> 9.751107, 8.325719, 8.420855, 8.564897, 8.442613, 7.94…
## $ wage_homo       <dbl> 17173.230, 4128.706, 4540.783, 5244.301, 4640.665, 280…
## $ log_wage_hetero <dbl> 9.305316, 7.866646, 8.639224, 9.043058, 8.750026, 7.32…
## $ wage_hetero     <dbl> 10996.321, 2608.801, 5648.946, 8459.610, 6310.851, 152…

1.3 Estatísticas descritivas (Item 1.1)

1.3.1 Principais

**Estatísticas descritivas da base inicial**

Statistic	Mean	Median	St. Dev.	Min	Max	N

education	9.592	9	3.312	4	18	2,000
male	0.518	1	0.500	0	1	2,000
white	0.434	0	0.496	0	1	2,000
experience	15.470	15	9.524	0	45	2,000
north	0.094	0	0.291	0	1	2,000
northeast	0.268	0	0.443	0	1	2,000
south	0.142	0	0.350	0	1	2,000
centerwest	0.083	0	0.276	0	1	2,000
log_wage_homo	8.577	8.567	0.606	6.630	10.520	2,000
wage_homo	6,383.054	5,256.032	4,213.816	757.535	37,040.320	2,000
log_wage_hetero	8.556	8.547	0.836	5.597	11.307	2,000
wage_hetero	7,437.383	5,151.824	7,693.899	269.522	81,385.690	2,000

1.3.2 CV

**Coeficiente de variação da base inicial**

education	male	white	experience	region	north	northeast	south	centerwest	log_wage_homo	wage_homo	log_wage_hetero	wage_hetero

0.345	0.965	1.143	0.616		3.114	1.655	2.454	3.325	0.071	0.660	0.098	1.034

Além das estatísticas básicas, julgamos produtivo incluir o coeficiente de variação (CV), pois o CV permite avaliar a variabilidade relativa de cada variável, comparando dispersões entre variáveis com escalas diferentes. Isso complementa a análise descritiva e ajuda a interpretar melhor a heterogeneidade presente na base simulada.

Observando as estatísticas, a escolaridade média é de 9,6 anos, com variabilidade moderada (CV = 0,330), o que sugere uma distribuição relativamente concentrada em torno da média. A proporção de homens (51,3%) e de indivíduos brancos (45,4%) coincide com os valores definidos no processo de simulação, e seus coeficientes de variação próximos de 1 refletem o comportamento esperado de variáveis binárias.

A experiência média é de aproximadamente 15 anos e apresenta maior dispersão relativa (CV = 0,613), o que é consistente com seu intervalo mais amplo. As dummies regionais mostram coeficientes de variação elevados, pois a categoria correspondente possui menor representatividade.

Os salários, tanto em nível quanto em log, apresentam padrões coerentes com a estrutura da equação de Mincer. O log-salário homocedástico possui baixa variabilidade (CV = 0,071), enquanto os salários em nível exibem maior dispersão, devido à transformação exponencial. Já o log-salário heterocedástico e seu correspondente em nível têm CVs maiores, refletindo a variância crescente introduzida no modelo heterocedástico.

1.4 Análise Gráfica do Salário x Educação

1.4.1 Scatterplot: Salário × Educação (Item 1.2)

1.4.2 Scatterplot: Log Salário × Educação (Item 1.2)

1.4.3 Scatterplot: Log Salário × Experiência (Item 1.3)

Analisando os quatro gráficos concluímos que tanto a escolaridade quanto a experiência possuem relação positiva com os salários, mas essa relação se apresenta de maneira mais clara quando o salário é transformado em log. No primeiro gráfico, que relaciona salário em nível e escolaridade, observa-se um forte aumento da dispersão à medida que os anos de estudo crescem, indicando heterocedasticidade: indivíduos com a mesma escolaridade apresentam salários muito distintos, e essa variância cresce para níveis mais altos de educação.
Já nos gráficos que utilizam o log do salário, a relação tanto com experiência quanto com escolaridade torna-se mais linear e com dispersão mais homogênea. Desse modo, nós cremos que a transformação logarítmica reduz a heterocedasticidade dos dados. Além disso, percebe-se que a escolaridade apresenta uma relação mais crescente com o log do salário, enquanto a experiência também tem efeito positivo, porém com maior dispersão. Logo, os gráficos indicam que modelar o salário em log melhora a estabilidade da variância e mostra os retornos crescentes associados à educação e à experiência.

1.5 Estimação da Equação de Mincer (OLS) utilizando log_wage_homo e log_wage_hetero

1.5.1 Regressão Completa (Item 1.4)

1.5.1.1 Homoscedástico

data <- data %>% mutate(experience2 = experience^2)

# Região referência vai ser sudeste
# Gênero referência vai ser mulher
# Raça referência vai ser não branca

regress_4 <- lm(log_wage_homo ~ education + experience + experience2 + north + northeast + south + centerwest + male + white, data = data
)

1.5.1.2 Héterocedástico

# Cria a variável experience^2
data <- data %>% mutate(experience2 = experience^2)

# Região referência vai ser sudeste
# Gênero referência vai ser mulher
# Raça referência vai ser não branca
regress_4_hetero <- lm(log_wage_hetero ~ education + experience + experience2 + north + northeast + south + centerwest +
                       male + white, data = data
)

1.5.2 Resultados da regressão

1.5.2.1 Homoscedástico

**Resultados da Regressão: Log do Salário**

	Dependent variable:

	log

Educação (anos)	0.128^***
	(0.002)

Experiência	0.037^***
	(0.003)

Experiência²	-0.001^***
	(0.0001)

Homem	-0.193^***
	(0.028)

Branco	-0.178^***
	(0.019)

Região Norte	0.072^***
	(0.024)

Região Nordeste	0.063^**
	(0.030)

Região Sul	0.236^***
	(0.016)

Região Centro-Oeste	0.199^***
	(0.016)

Constant	6.795^***
	(0.034)


Observations	2,000
R²	0.669
Adjusted R²	0.667
Residual Std. Error	0.350 (df = 1990)
F Statistic	445.896^*** (df = 9; 1990)

Note:	^p<0.1; ^p<0.05; ^**p<0.01

A regressão indica que escolaridade e experiência aumentam o salário, embora a experiência tenha retornos decrescentes. Todas as regiões fora a de referência exibem salários mais altos. Já homens e indivíduos brancos apresentam salários maiores na amostra. O modelo explica bem a variação do log do salário (R² ≈ 0,67), sugerindo que os determinantes incluídos capturam grande parte das diferenças salariais observadas.

1.5.2.2 Heterocedástico

**Resultados da Regressão: Log do Salário héterocedástico**

	Dependent variable:

	log

Educação (anos)	0.128^***
	(0.005)

Experiência	0.036^***
	(0.005)

Experiência²	-0.001^***
	(0.0001)

Homem	-0.165^***
	(0.056)

Branco	-0.203^***
	(0.038)

Região Norte	0.038
	(0.047)

Região Nordeste	0.110^*
	(0.059)

Região Sul	0.190^***
	(0.031)

Região Centro-Oeste	0.184^***
	(0.031)

Constant	6.870^***
	(0.067)


Observations	2,000
R²	0.324
Adjusted R²	0.321
Residual Std. Error	0.689 (df = 1990)
F Statistic	105.800^*** (df = 9; 1990)

Note:	^p<0.1; ^p<0.05; ^**p<0.01

1.5.3 Previsões e Gráfico 3D (Item 1.6)

1.5.3.1 Homoscedástico

1.5.3.2 Heterocedástico

1.5.4 Histograma dos resíduos (Item 1.6)

1.5.4.1 Homoscedástico

Os dois histogramas apresentam distribuições de resíduos aproximadamente simétricas e centradas em zero. Os dois histogramas indicam que os erros, tanto homocedástico quanto heterocedástico, possuem o formato próximo ao de uma distribuição normal.

A principal diferença dos gráficos está na amplitude e dispersão dos resíduos. No modelo homocedástico, os valores variam em torno de −1.2 a 1.1, enquanto no modelo heterocedástico essa faixa é maior, alcançando aproximadamente −2.2 a 2.1. Logo, ao permitir variância não constante, o modelo captura maior variabilidade nos erros.

Apesar dessa diferença na escala, a forma geral das distribuições permanece semelhante: ambas são simétricas, sem caudas exageradas ou assimetrias significativas. Dessa forma, conclui-se que a heterocedasticidade altera mais a magnitude dos resíduos do que sua estrutura ou comportamento central, influenciando a precisão dos erros-padrão e da inferência estatística.

1.5.4.2 Heterocedástico

1.6 Teste White para testar presença de heterocedasticidade na regressão da variáve log_wage_homo

teste_white_homo <- bptest(regress_4, ~ fitted(regress_4) + I(fitted(regress_4)^2))

**Teste White para Heterocedasticidade – log**

statistic	parameter	p_valor

0.219	2	0.896

Regressão com log_wage_homo:

Não rejeitamos a hipótese nula de homocedasticidade. O comportamento dos resíduos é compatível com variância constante, como esperado, já que o salário foi gerado de forma homocedástica.

1.7 Teste White para testar presença de heterocedasticidade na regressão da variáve log_wage_hetero

teste_white_hetero <- bptest(regress_4_hetero, ~ fitted(regress_4_hetero) + I(fitted(regress_4_hetero)^2))

**Teste White para Heterocedasticidade – log**

statistic	parameter	p_valor

19.526	2	0.0001

Regressão com log_wage_hetero:

Rejeitamos fortemente a hipótese nula. Há evidências claras de heterocedasticidade, o que também era esperado, pois o salário nesta versão foi gerado com variância não constante.

1.8 Estimação da equação minceriana por FGLS.

sigma2_chapeu <- residuals(regress_4_hetero)^2

# Regressão FGLS (weights = 1/sigma2_chapeu)
regress_fgls <- lm(log_wage_hetero ~ education + experience + I(experience^2) +
    male + white + north + northeast + south + centerwest, data = data, weights = 1/sigma2_chapeu
)

**OLS x FGLS para log**

	Dependent variable:

	log_wage_hetero
	(1)	(2)

education	0.128^***	0.128^***
	(0.005)	(0.0003)

experience	0.036^***	0.035^***
	(0.005)	(0.0003)

experience2	-0.001^***
	(0.0001)

I(experience2)		-0.001^***
		(0.00001)

north	-0.165^***	-0.170^***
	(0.056)	(0.006)

northeast	-0.203^***	-0.201^***
	(0.038)	(0.002)

south	0.038	0.037^***
	(0.047)	(0.003)

centerwest	0.110^*	0.117^***
	(0.059)	(0.003)

male	0.190^***	0.188^***
	(0.031)	(0.002)

white	0.184^***	0.184^***
	(0.031)	(0.002)

Constant	6.870^***	6.871^***
	(0.067)	(0.004)


Observations	2,000	2,000
R²	0.324	0.998
Adjusted R²	0.321	0.998
Residual Std. Error (df = 1990)	0.689	1.000
F Statistic (df = 9; 1990)	105.800^***	117,738.000^***

Note:	^p<0.1; ^p<0.05; ^**p<0.01

A estimação por FGLS produziu coeficientes mais próximos dos valores verdadeiros utilizados na geração dos dados. Isso ocorre porque o FGLS corrige a heterocedasticidade presente no modelo com log_wage_hetero, ajustando os pesos de cada observação de acordo com a variância dos erros. Assim, as estimativas tornam-se mais eficientes e menos distorcidas do que as obtidas via OLS. Comparando os dois métodos, é possível observar que os coeficientes do FGLS não apenas mantêm os mesmos sinais e magnitudes gerais, mas também apresentam erros-padrão muito menores, refletindo maior precisão. Como a equação minceriana foi simulada com heterocedasticidade, esse resultado era esperado: o FGLS recupera melhor os parâmetros populacionais e fornece estimativas mais alinhadas com o modelo gerador dos dados.

1.9 Diferença entre a equação minceriana estimada para o log_wage_hetero por OLS e FGLS para 200.000 e 2000 observações

**OLS x FGLS (Amostra de 200 mil)**

	Dependent variable:

	log_wage_hetero
	(1)	(2)

education	0.129^***	0.138^***
	(0.0005)	(0.00004)

experience	0.035^***	0.020^***
	(0.0005)	(0.00001)

experience2	-0.0005^***
	(0.00001)

north	-0.144^***	-0.139^***
	(0.006)	(0.0004)

northeast	-0.201^***	-0.197^***
	(0.004)	(0.0003)

south	0.074^***	0.073^***
	(0.005)	(0.0004)

centerwest	0.048^***	0.028^***
	(0.006)	(0.001)

male	0.247^***	0.207^***
	(0.003)	(0.0002)

white	0.176^***	0.204^***
	(0.003)	(0.0002)

Constant	6.813^***	6.802^***
	(0.007)	(0.0004)


Observations	200,000	200,000
R²	0.348	1.000
Adjusted R²	0.348	1.000
Residual Std. Error	0.684 (df = 199990)	9.994 (df = 199991)
F Statistic	11,871.090^*** (df = 9; 199990)	119,004,808.000^*** (df = 8; 199991)

Note:	^p<0.1; ^p<0.05; ^**p<0.01

**OLS x FGLS para log**

	Dependent variable:

	log_wage_hetero
	(1)	(2)

education	0.128^***	0.128^***
	(0.005)	(0.0003)

experience	0.036^***	0.035^***
	(0.005)	(0.0003)

experience2	-0.001^***
	(0.0001)

I(experience2)		-0.001^***
		(0.00001)

north	-0.165^***	-0.170^***
	(0.056)	(0.006)

northeast	-0.203^***	-0.201^***
	(0.038)	(0.002)

south	0.038	0.037^***
	(0.047)	(0.003)

centerwest	0.110^*	0.117^***
	(0.059)	(0.003)

male	0.190^***	0.188^***
	(0.031)	(0.002)

white	0.184^***	0.184^***
	(0.031)	(0.002)

Constant	6.870^***	6.871^***
	(0.067)	(0.004)


Observations	2,000	2,000
R²	0.324	0.998
Adjusted R²	0.321	0.998
Residual Std. Error (df = 1990)	0.689	1.000
F Statistic (df = 9; 1990)	105.800^***	117,738.000^***

Note:	^p<0.1; ^p<0.05; ^**p<0.01

Quando aumentamos a amostra de 2000 para 200000 observações, a diferença das estimativas de OLS e FGLS ficam mais evidentes. Anteriormente quando analisamos para 2000 observações, o FGLS já mostrava coeficientes mais próximos dos valores verdadeiros da equação de Mincer. Porém com 200000 observações, o FGLS converge para valores praticamente iguais aos parâmetros populacionais, enquanto o OLS permanece enviesado em função da heterocedasticidade presente na variável dependente.

Além disso, os erros-padrão no FGLS ficam extremamente pequenos, refletindo um enorme ganho de precisão, o que é visível quand comparamos colunas: enquanto no OLS os erros-padrão são cerca de 0,003 a 0,006, no FGLS eles passam a ser de 0,0002 a 0,001. O mesmo ocorre com a qualidade do ajuste: o R² do FGLS atinge 1, indicando que o modelo praticamente recupera a estrutura de geração dos dados, enquanto o OLS mantém um R² bem inferior (0,348), pois continua ignorando a forma verdadeira da variância dos erros.

Logo, é possível concluir que aumentar a amostra mostra que o OLS não consegue recuperar os parâmetros corretos quando há heterocedasticidade relevante, enquanto o FGLS se torna ainda mais preciso e se aproxima dos valores reais usados na simulação.

1.10 Conclusão

Nossa análise focou na equação de Mincer, usando dados criados artificialmente com erros de variância constante e variável. As estatísticas resumidas e os gráficos revelaram conexões notáveis entre salário, nível de escolaridade e tempo de experiência profissional, além de indícios visuais de que a variabilidade salarial não era uniforme. Testes estatísticos formais validaram essas tendências: o teste de White não encontrou heterocedasticidade no modelo de variância constante, mas identificou evidências significativas no modelo com variância variável, alinhando-se com a forma como os dados foram produzidos.

As estimativas enfatizaram o quão crucial é usar métodos apropriados para gerenciar a variabilidade não uniforme. O MQO gerou resultados aceitáveis no contexto de variância constante, mas exibiu imprecisões e erros padrão aumentados quando aplicado ao modelo com variância variável. Por outro lado, o MQGF resolveu essa restrição, recuperando parâmetros mais próximos dos valores reais e demonstrando maior exatidão. Ao expandir a amostra para duzentas mil observações, a vantagem do MQGF se tornou ainda mais clara, enquanto o MQO permaneceu impreciso.

Em resumo, os resultados enfatizam que a existência de heterocedasticidade afeta diretamente a eficácia e a credibilidade das estimativas, e que abordagens como o MQGF são essenciais quando a variância dos erros não é constante. O estudo também ilustrou como simulações podem ser valiosas para entender o desempenho dos estimadores sob diferentes condições.

Trabalho Econometria I

Mario Cesar (123674609), Guilherme (123671562) e Matheus (123443189)

18/11/2025